A finite dodecahedral Universe

1er octobre 2003

A franco-american team of cosmologists [1] conducted by J.-P. Luminet, from Laboratory Universe and Theories (LUTH) at Paris Observatory , has proposed an original explanation to account for a surprising detail observed in the Cosmic Microwave Background (CMB) recently mapped by the NASA satellite WMAP. According to the team, who published their study in the 9 october 2003 issue of Nature, an intriguing discrepancy in the background luminous texture of the universe can indeed be explained by a very specific global shape of space (a "topology"). The universe could be wrapped around, a little bit like a "soccer ball", the volume of which would represent only 80% of the observable universe ! (figure 1) According to the leading cosmologist George Ellis, from Cape Town University (South Africa), who comments this letter in the "News & Views" of the same issue : "If confirmed, it is a major discovery about the nature of the universe".

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Figure 1. Left : PoincarÃ©

Dodecahedral Space can be described as the interior of a kind of sphere

tiled with 12 slightly curved pentagons. Center : There is however a big difference with a "soccer ball" to which the left figure might be compared : when one goes out from a pentagonal face, one comes back immediately inside the ball from the opposite face, after a 36° rotation. Right : Such

a space is finite, although without edges or boundary, so that one can

indefinitely travel within it. As a result, an observer has the illusion

to live in a space 120 times vaster, made of tiled doecahedra which

duplicate like in a mirror hall. As light rays crossing the faces go back

from the other side, every cosmic object has multiple images.

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Primordial fluctuations

Cosmologists study the topology of space by analyzing in great details the temperature fluctuations of the fossil Cosmic Microwave Background [note a]. The standard cosmological model describes the universe as a flat infinite space in eternal, accelerated expansion under the effect of a repulsive "dark energy". The data collected by the NASA satellite WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe), which has recently produced a high resolution map of the CMB, allowed to check the validity of such an expansion model. Temperature fluctuations on small and mean scales (i.e. concerning regions of the sky of relatively modest size) are compatible with the infinite flat space hypothesis. However, on angular scales larger than 60 degrees, the observed correlations are notably weaker that those predicted by the standard model. Thus the scientists are looking for an alternative. CMB temperature anisotropies essentially result from density fluctuations of the primordial universe : a photon coming from a denser region will loose a fraction of its energy to compete against gravity, and will reach us cooler. On the contrary, photons emitted from less dense regions will be received hotter. The density fluctuations result from the superposition of acoustic waves which propagated in the primordial plasma - see previous press releases Vibrations of the cosmic drumhead ? (jan 2003) and A small spherical universe after all ? (dec 2001). The franco-american team of scientists has recently developed complex theoretical models to reproduce the amplitude of such fluctuations, which can be considered as vibrations of the universe itself. In particular, they simulated high resolution CMB maps for various space topologies [2] and were able to compare their results with real WMAP data. Depending on the underlying topology, the distribution of the fluctuations differs. For instance, in an infinite "flat" (Euclidean) space, all wavelengths are allowed, and fluctuations must be present at all scales.

Cosmic Harmonics

Like acoustic waves, the CMB temperature fluctuations can be decomposed into a sum of spherical harmonics [note b]. The first observable harmonics is the quadrupole (whose wavenumer is l=2). WMAP has observed a value of the quadrupole 7 times weaker than expected in a flat infinite universe. The probability that such a discrepancy occurs by chance has been estimated to 0.2% only. The octopole (whose wavenumber is l=3) is also weaker (72%) than the expected value. For larger wavenumbers up to l=900 (which correspond to temperature fluctuations at small angular scales), observations are remarkably consistent with the standard cosmological model.

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Figure 2. The amplitude of

fluctuations as observed by WMAP (in black) compared with the

theoretical amplitude computed in an infinite flat space (dark

grey). The calculation has been done for a matter density

parameter 0.28 and a cosmological constant parameter 0.714. The

discrepancy is large for the wavenumber l=2 corresponding to the

so-called quadrupole. By contrast there is an excellent agreement with

the calculation performed in a very specific space, named from the

famous French mathematician Henri PoincarÃ© (light grey).

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The unusually low quadrupole value means that long wavelengths are missing, may be because space is not big enough to sustain them. Such a situation may be compared to a vibraring string fixed at its two extremities, for which the maximum wavelength of an oscillation is twice the string length. A natural explanation of such a phenomenon relies on a model of finite space whose size constrains the wavelengths below a maximum value. The proposed space is the PoincarÃ© dodecahedral space [note c].

luminet-f3.jpg

Figure 3. The wavelengths of density

fluctuations are limited by the size of a finite "wraparound" universe.

a.A 2-dimensional creature living on the surface of a cylinder

travels due east, eventually going all the way around the cylinder and

returning to her starting point. b.If we cut the cylinder open

and flatten it into a square, the creature’s path goes out the square’s

right side and returns from the left side. c. A flat torus is

like a cylinder, only now the top and bottom sides connect as well as

the left and right. Such a space is said to be multiconnnected. It is

also the case for the PoincarÃ© Dodecahedral Space. d. Waves in a

torus universe may have wavelengths no longer than the width of the

square itself. To construct a multiconnected 3-dimensional space, start

with a solid polyhedron (for example a cube for a 3-torus, or a

dodecahedron for PoincarÃ© space) and identify its faces in pairs, so

that any object leaving the polyhedron through one face returns from the

matching face. Such a multiconnected space supports standing waves whose

exact shape depends on both the geometry of the polyhedron and how the

faces are identified. Nevertheless, the same principle applies, that the

wavelength cannot exceed the size of the polyhedron itself. In

particular, the inhabitants of such a space will observe a cut-off in

the wavelengths of density fluctuations.

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The associated power spectrum, namely the repartition of fluctuations as a function of their wavelengths corresponding to the Poincaré dodecahedral space, strongly depends on the value of the mass-energy density parameter [note d]. There is a small interval of values within which the spectral fit is good, and in agreement with the value of the density parameter deduced from WMAP data (1.02 plus or minus 0.02). The result is quite remarkable because the Poincaré space has no degree of freedom. By contrast, a 3-dimensional torus, constructed by gluing together the opposite faces of a cube and which constitutes a possible topology for a finite Euclidean space, may be deformed into any parallelepiped : therefore its geometrical construction depends on 6 degrees of freedom.

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Figure 4. The values of the

mass-energy density parameter for which the PoincarÃ© Dodecahedral Space

(plots 2 for the quadrupole and 4 for the octopole) fit well with WMAP

observations (plots 1 for quadrupole and 3 for octopole). The fit is

optimal when the mass-energy density parameter ranges between 1.012 and

1.014. Click on the pictures to

enlarge. The Poincaré Dodecahedral Space accounts for the low value of the quadrupole as observed by WMAP in the fluctuation spectrum, and provides a good value of the octopole. To be confirmed, such a "soccer-ball" model of space must satisfy two experimental tests : A finer analysis of WMAP data, or new data from the future European satellite Planck Surveyor (scheduled 2007), will be able to determine the value of the energy density parameter with a precision of 1%. A value lower than 1.01 will discard the PoincarÃ© space as a model for cosmic space, whereas a value greater than 1.01 will confirm its cosmological pertinence. If space has a non trivial topology, there must be particular correlations in the CMB, namely pairs of correlated circles along which temperature fluctuations should be the same [3]. The PoincarÃ© Dodecahedral Space model predicts 6 pairs of circles with an angular radius of 35Â°. The model is therefore an ideal candidate to test the method of "matched circles" originally devised by the American astrophysicists N. Cornish, D. Spergel and G. Starkman [4]

Notes [a] The Cosmic Background Radiation, also called Fossil Radiation, is the relics of the radiation emitted soon after the Big Bang (about 400 000 years later), when matter and radiation decoupled. The tiny temperature irregularities of such a radiation allow to measure the density fluctuations of the matter present at this epoch, such fluctuations being the seeds of all galaxies and galaxy clusters.[b] The temperature fluctuations of the Cosmic Background Radiation may be decomposed into a sum of spherical harmonics , much like the sound produced by a music instrument may be decomposed into ordinary harmonics. The "fundamental" fixes the height of the note (as for instance a 440 hertz acouctic frequency fixes the "A" of the pitch), whereas the relative amplitudes of each harmonics determine the tone quality (such as the A played by a piano differs from the A played by a harpsichord). Concerning the relic radiation, the relative amplitudes of each spherical harmonics determine the power spectrum, which is a signature of the geometry of space and of the physical conditions which prevailed at the time of CMB emission.[c] PoincarÃ© space may be represented by a dodecahedron (a regular polyhedron with 12 pentagonal faces) whose opposite faces are glued after a 36 degrees twist ; such a space is positively curved, and is a multiply connected variant of the hypersphere, with a volume 120 times smaller. A rocket going out of the dodecahedron by crossing a given face immediately re-enters by the opposite face. Propagation of light rays is such that any observer whose line-of-sight intercepts one face has the illusion to see inside a copy of his own dodecahedron (since his line-of-sight re-enters the original dodecahedron from the opposite side).[d] The mass-energy density parameter characterizes the contents (matter and all forms of energy) of the universe. The curvature of space depends on the value of this parameter, usually denoted Omega. If Omega is greater than 1, then space curvature is positive and geometry is spherical ; if Omega is smaller than 1 the curvature is negative and the geometry is hyperbolic ; eventually Omega is strictly equal to 1 and space is "flat" (Euclidean geometry).

RÃ©fÃ©rences [1] J.-P. Luminet, LUTH, CNRS-UMR 8102, Observatoire de Paris, France J. Weeks, Canton, USAA. Riazuelo, Service de Physique ThÃ©orique, CEA Saclay, FranceR. Lehoucq, Service d’Astrophysique, CEA Saclay, FranceJ.-P. Uzan, Laboratoire de Physique ThÃ©orique, Orsay et Institut d’Astrophysique de Paris, France Dodecahedral space topology as an explanation for weak wide-angle temperature correlations in the cosmic microwave backgroundArticle published in Nature, 9 octobre 2003, vol. 425, p. 593-595.For an electronic version : format PDF (420kB) [2] Simulating cosmic microwave background maps in multi-connected universes, A. Riazuelo, J.-P. Uzan, R. Lehoucq and J. Weeks (e-print astro-ph/0212223).Detecting topology of nearly flat spherical universes, R. Lehoucq, J.-P. Uzan and J. Weeks, Class. Quant. Grav. 20, 1529-1542, 2003, (e-print astro-ph/0209389)Eigenmodes of compact spherical spaces and their applications to cosmology, R. Lehoucq, J.-P. Uzan, J. Weeks, J.-P. Luminet and E. Gausmann, Class. Quantum Grav. 19, 4683-4708, 2002, (e-print gr-qc/0205009) [3] L’Univers chiffonnÃ©, J.- P. Luminet, Fayard, Paris, 2001, 369 p. ; L’univers... vu d’ailleurs, J.-P. Uzan, Pour la Science vol. 308, p. 56, juin 2003. [4] N. Cornish, D. Spergel et G. Starkman, Classical and Quantum Gravity 15, 2657-2670, 1998 (e-print astro-ph/9801212)

See also previous press releases "A small spherical universe after all ?" (december 2001), "Vibrations of the cosmic drumhead" (january 2003), and the first popular book on cosmic topology : J.- P. Luminet : Lâ€™Univers chiffonnÃ©, Fayard, Paris, 2001, 369 p.

Contact :

Jean-Pierre Luminet (Observatoire de Paris, LUTH) Notes [a] The Cosmic Background Radiation, also called Fossil Radiation, is the relics of the radiation emitted soon after the Big Bang (about 400 000 years later), when matter and radiation decoupled. The tiny temperature irregularities of such a radiation allow to measure the density fluctuations of the matter present at this epoch, such fluctuations being the seeds of all galaxies and galaxy clusters.[b] The temperature fluctuations of the Cosmic Background Radiation may be decomposed into a sum of spherical harmonics , much like the sound produced by a music instrument may be decomposed into ordinary harmonics. The "fundamental" fixes the height of the note (as for instance a 440 hertz acouctic frequency fixes the "A" of the pitch), whereas the relative amplitudes of each harmonics determine the tone quality (such as the A played by a piano differs from the A played by a harpsichord). Concerning the relic radiation, the relative amplitudes of each spherical harmonics determine the power spectrum, which is a signature of the geometry of space and of the physical conditions which prevailed at the time of CMB emission.[c] Poincaré space may be represented by a dodecahedron (a regular polyhedron with 12 pentagonal faces) whose opposite faces are glued after a 36 degrees twist ; such a space is positively curved, and is a multiply connected variant of the hypersphere, with a volume 120 times smaller. A rocket going out of the dodecahedron by crossing a given face immediately re-enters by the opposite face. Propagation of light rays is such that any observer whose line-of-sight intercepts one face has the illusion to see inside a copy of his own dodecahedron (since his line-of-sight re-enters the original dodecahedron from the opposite side).[d] The mass-energy density parameter characterizes the contents (matter and all forms of energy) of the universe. The curvature of space depends on the value of this parameter, usually denoted Omega. If Omega is greater than 1, then space curvature is positive and geometry is spherical ; if Omega is smaller than 1 the curvature is negative and the geometry is hyperbolic ; eventually Omega is strictly equal to 1 and space is "flat" (Euclidean geometry).

RÃ©fÃ©rences [1] J.-P. Luminet, LUTH, CNRS-UMR 8102, Observatoire de Paris, France J. Weeks, Canton, USAA. Riazuelo, Service de Physique Théorique, CEA Saclay, FranceR. Lehoucq, Service d’Astrophysique, CEA Saclay, FranceJ.-P. Uzan, Laboratoire de Physique Théorique, Orsay et Institut d’Astrophysique de Paris, France Dodecahedral space topology as an explanation for weak wide-angle temperature correlations in the cosmic microwave backgroundArticle published in Nature, 9 octobre 2003, vol. 425, p. 593-595.For an electronic version : format PDF (420kB) [2] Simulating cosmic microwave background maps in multi-connected universes, A. Riazuelo, J.-P. Uzan, R. Lehoucq and J. Weeks (e-print astro-ph/0212223).Detecting topology of nearly flat spherical universes, R. Lehoucq, J.-P. Uzan and J. Weeks, Class. Quant. Grav. 20, 1529-1542, 2003, (e-print astro-ph/0209389)Eigenmodes of compact spherical spaces and their applications to cosmology, R. Lehoucq, J.-P. Uzan, J. Weeks, J.-P. Luminet and E. Gausmann, Class. Quantum Grav. 19, 4683-4708, 2002, (e-print gr-qc/0205009) [3] L’Univers chiffonnÃ©, J.- P. Luminet, Fayard, Paris, 2001, 369 p. ; L’univers... vu d’ailleurs, J.-P. Uzan, Pour la Science vol. 308, p. 56, juin 2003. [4] N. Cornish, D. Spergel et G. Starkman, Classical and Quantum Gravity 15, 2657-2670, 1998 (e-print astro-ph/9801212)

Jean-Pierre Luminet (Observatoire de Paris, LUTH)

Dernière modification le 4 mars 2013

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Un univers fini dodécaédrique

1er octobre 2003

Une Ã©quipe franco-amÃ©ricaine de cosmologistes [1] conduite par Jean-Pierre Luminet, du Laboratoire Univers et ThÃ©ories (LUTH) de l’Observatoire de Paris , vient de proposer une explication originale pour rendre compte d’un dÃ©tail surprenant observÃ© dans le rayonnement de fond de l’Univers rÃ©cemment cartographiÃ© par le satellite WMAP de la NASA. Selon ces scientifiques qui viennent de publier leur Ã©tude dans la revue Nature du 9 octobre 2003, une anomalie particuliÃ¨re dans la texture lumineuse du fond de l’Univers pourrait en effet s’expliquer par une forme globale (une "topologie") trÃ¨s spÃ©cifique de l’espace. L’Univers pourrait Ãªtre refermÃ© sur lui-mÃªme, un peu Ã la maniÃ¨re d’un ballon de football dont le volume ne reprÃ©senterait que 80% de l’univers observÃ© ! (figure 1) Selon le cosmologiste George Ellis, de l’UniversitÃ© de Cape Town (Afrique du Sud), qui commente cet article dans les "News & Views" de la revue Nature, il s’agirait lÃ "d’une dÃ©couverte majeure sur la nature de notre Univers".

luminet-f1a.jpg luminet-f1c.jpg luminet-f1b.jpg

Figure 1. Gauche : L’espace de

PoincarÃ© peut se dÃ©crire comme l’intÃ©rieur d’une sorte de sphÃ¨re formÃ©e de

12 pentagones lÃ©gÃ¨rement incurvÃ©s. Centre : Mais, grosse diffÃ©rence avec un "ballon de football" auquel l’image de gauche peut faire penser, lorsqu’on arrive Ã une paroi pentagonale, on revient dans le ballon par la face opposÃ©e en ayant tournÃ© de 36°. Droite : Cet espace est fini, mais sans bords ni

limites, de sorte que l’on peut y voyager indÃ©finiment. Du coup, on a

l’impression de vivre dans un espace 120 fois plus vaste, pavÃ© de

dodÃ©caÃ¨dres qui se dÃ©multiplient comme dans un palais des glaces. Le

retour des rayons lumineux qui traversent les parois produit des mirages

optiques : un mÃªme objet a plusieurs images.

color=#ff0000>Cliquez sur les images pour les agrandir.

Les fluctuations primordiales

Les cosmologistes étudient la topologie de l’espace en analysant en détail les fluctuations de température du rayonnement cosmologique fossile [note a]. Le modèle cosmologique standard décrit l’Univers par un espace euclidien infini, en expansion perpétuelle accélérée sous l’effet d’une "énergie noire" répulsive. Les données collectées par le satellite WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe), qui a fourni récemment une carte très précise du rayonnement de fond, a permis de vérifier la validité de ce modèle d’expansion. Les fluctuations à petite et moyenne échelle (c’est-à-dire qui concernent des régions du ciel de petites et moyennes dimensions) sont bien compatibles avec l’hypothèse d’un espace euclidien infini. En revanche, à des échelles plus grandes, supérieures à 60 degrés, les corrélations observées sont notoirement plus faibles que les prédictions du modèle standard, ce qui conduit à chercher une alternative à ce modèle. Les fluctuations de température du fond diffus cosmologique sont, pour l’essentiel, la conséquence des fluctuations de densité de l’univers primordial : un photon en provenance d’une région dense perdra une fraction de son énergie pour lutter contre la gravité et nous parviendra plus froid. A l’inverse, les photons émis par une région peu dense nous parviendront plus chauds. Les fluctuations de densité résultent, quant à elles, de la superposition d’ondes sonores se propageant dans le fluide primordial - voir les communiqués de presse Comment vibre le tambour cosmique ? (janvier 2003) et Un petit Univers sphÃ©rique ? (décembre 2001). L’équipe de chercheurs a récemment développé un modèle théorique pour reproduire l’amplitude de ces fluctuations qui peuvent être considérées comme des vibrations de l’Univers. Ils ont en particulier simulé différentes cartes à haute résolution du rayonnement fossile pour différents types de topologies de l’Univers [2] et ont pu comparer ces simulations aux résultats de WMAP. Selon la topologie choisie, la répartition des fluctuations est différente. Ainsi, dans un espace euclidien infini, toutes les longueurs d’onde sont autorisées et les fluctuations doivent être présentes à toutes les échelles.

Harmoniques cosmiques

Comme les ondes sonores, les fluctuations de température du fond diffus cosmologique peuvent être décomposées en une somme d’harmoniques sphÃ©riques [note b]. La première harmonique observable est le quadrupole (dont le nombre d’onde est l=2). WMAP a observé un quadrupole 7 fois plus faible que ce qui était attendu dans un Univers euclidien infini (figure 2). La probabilité que cet écart se produise par hasard a été estimée à 0.2%. L’octopole (dont le nombre d’onde est l=3) est aussi un peu plus faible que la prédiction, à 72% de la valeur attendue. Pour les plus grandes valeurs du nombre d’onde et jusqu’à l=900 (qui correspondent à des fluctuations de température sur de petites échelles angulaires) les observations sont en revanche remarquablement bien expliquées par la modélisation standard.

luminet-f2.jpg

Figure 2. Comparaison de l’amplitude

(l=2). L’accord est bien meilleur pour un espace particulier dit "espace

l’image pour l’agrandir.

La faible valeur du quadrupole signifie qu’il manque les ondes de grande longueur d’onde, peut-être parce que l’espace n’est pas suffisamment grand pour les supporter. Cette situation se compare à celle d’une corde vibrante fixée aux deux extrémités, sur laquelle la longueur d’onde maximale d’une onde sonore est égale au double de la longueur de la corde. Une explication naturelle de ce phénomène se fonde sur un modèle d’univers fini dans lequel la taille de l’espace impose une valeur maximum aux longueurs d’onde autorisées. L’espace proposé est l’espace dodÃ©caÃ©drique de PoincarÃ© [note c].

luminet-f3.jpg

Figure 3. La longueur d’onde des

multi-connexe. d. Des ondes se propageant dans un univers torique

Pour construire un espace multi-connexe Ã trois dimensions, on identifie

deux Ã deux les faces d’un polyÃ¨dre, un cube par exemple. Dans une telle

Cliquez sur l’image pour

l’agrandir. Le spectre associé, c’est à dire la répartition des fluctuations en fonction de leur longueur d’onde, correspondant à l’espace de Poincaré dépend fortement de la valeur du paramÃ¨tre de masse-Ã©nergie [note d]. Il existe un petit intervalle de valeurs pour lequel l’accord est bon du point de vue spectral et cohérent avec la valeur du paramètre de masse-énergie déterminé par WMAP (1.02 à 0.02 près). Ce résultat est d’autant plus étonnant que l’espace de Poincaré n’offre aucun degré de liberté dans sa construction. Par opposition, le tore à trois dimensions, construit en identifiant les faces opposées d’un cube et qui constitue une topologie possible d’espace euclidien fini, peut être déformé en un parallélépipède quelconque : il a donc 6 degrés de liberté dans sa construction géométrique.

luminet-f4.jpg

Figure 4. Valeurs du paramÃ¨tre de

pour le quadrupole et 4 pour l’octopole) s’accorde avec les observations

de WMAP (courbe 1 pour le quadrupole et 3 pour l’octopole). L’accord est

1.012 et 1.014. Cliquez sur l’image pour

l’agrandir. L’espace de Poincaré est capable de rendre compte de la faible valeur du terme quadrupolaire observé par WMAP dans le spectre des fluctuations sans engendrer un terme octupolaire excessif. Pour être confirmé, ce modèle doit maintenant satisfaire deux tests expérimentaux : L’analyse plus fine des donnÃ©es de WMAP, ou celles du futur satellite europÃ©en Planck Surveyor (attendues pour 2007), devraient permettre de dÃ©terminer le paramÃ¨tre de masse-Ã©nergie Ã 1% prÃ¨s. Une valeur infÃ©rieure Ã 1.01 rÃ©futerait l’espace de PoincarÃ© comme modÃ¨le cosmologique alors qu’une valeur supÃ©rieure Ã 1.01 serait un argument en sa faveur. Si l’espace est multi-connexe, il doit y avoir des corrÃ©lations particuliÃ¨res dans le fond diffus cosmologique prenant la forme de paires de cercles le long desquels les fluctuations de tempÃ©rature sont identiques [3]. Ce modÃ¨le prÃ©dit qu’il doit y avoir 6 paires de cercles dont le rayon angulaire est de l’ordre de 35 degrÃ©s. L’espace de PoincarÃ© est donc un candidat idÃ©al pour la mÃ©thode dite des "paires de cercles corrÃ©lÃ©s" initialement proposÃ©e par les astrophysiciens amÃ©ricains N. Cornish, D. Spergel et G. Starkman [4]

Notes [a] Le rayonnement cosmologique, aussi appelÃ© "fond diffus cosmologique", est un rayonnement produit trÃ¨s tÃ´t dans l’histoire de l’Univers (environ 400 000 ans aprÃ¨s le dÃ©but de l’expansion) lorsque matiÃ¨re et lumiÃ¨re se sont sÃ©parÃ©es. Les infimes irrÃ©gularitÃ©s dans la tempÃ©rature de ce rayonnement permettent de mesurer les fluctuations de densitÃ© de matiÃ¨re prÃ©sentes Ã cette Ã©poque, fluctuations Ã partir desquelles se sont formÃ©s plus tard les galaxies et leurs amas.[b] Les fluctuations de tempÃ©rature du fond diffus cosmologique peuvent Ãªtre dÃ©composÃ©es en une somme d’harmoniques sphÃ©riques, comme le son produit par un instrument peut Ãªtre dÃ©composÃ© en harmoniques ordinaires. L’harmonique fondamentale fixe la hauteur du son (par exemple le la du diapason a une frÃ©quence de 440 hertz) tandis que l’amplitude relative de chaque harmonique dÃ©termine le timbre (le la du piano est diffÃ©rent de celui jouÃ© sur un clavecin). Dans le cas du fond diffus, l’amplitude relative de chaque harmonique sphÃ©rique fixe le spectre de puissance, une signature de la gÃ©omÃ©trie de l’univers et des conditions qui prÃ©valaient au moment de l’Ã©mission du rayonnement du fond diffus.[c] L’espace de PoincarÃ© peut se reprÃ©senter mentalement par un dodÃ©caÃ¨dre (polyÃ¨dre rÃ©gulier Ã 12 faces pentagonales) dont les faces opposÃ©es sont identifiÃ©es aprÃ¨s une rotation de 36 degrÃ©s ; c’est un espace de courbure positive, variante multi-connexe de l’hypersphÃ¨re, mais dont le volume est 120 fois plus petit. Un mobile sortant du dodÃ©caÃ¨dre Ã travers l’une de ses faces y retourne en entrant par la face opposÃ©e. La lumiÃ¨re s’y propage de telle faÃ§on qu’un observateur dont la ligne de visÃ©e traverse une paroi a l’illusion de voir l’intÃ©rieur d’une copie du dodÃ©caÃ¨dre d’origine (en rÃ©alitÃ© sa ligne de visÃ©e rentre dans le dodÃ©caÃ¨dre par le cÃ´tÃ© opposÃ©).[d] Le paramÃ¨tre de masse-Ã©nergie de l’Univers caractÃ©rise le contenu en matiÃ¨re et Ã©nergie de l’Univers. La gÃ©omÃ©trie prÃ©cise de l’Univers dÃ©pend de la valeur de ce paramÃ¨tre, appelÃ© aussi "Omega". Si Omega est supÃ©rieur Ã 1, la gÃ©omÃ©trie est dite "sphÃ©rique", s’il est infÃ©rieur Ã 1 la gÃ©omÃ©trie est "hyperbolique", enfin s’il est exactement Ã©gal Ã 1, la gÃ©omÃ©trie est "euclidienne".

RÃ©fÃ©rences [1] J.-P. Luminet, LUTH, CNRS-UMR 8102, Observatoire de Paris, France J. Weeks, Canton, USAA. Riazuelo, Service de Physique ThÃ©orique, CEA Saclay, FranceR. Lehoucq, Service d’Astrophysique, CEA Saclay, FranceJ.-P. Uzan, Laboratoire de Physique ThÃ©orique, Orsay et Institut d’Astrophysique de Paris, France Dodecahedral space topology as an explanation for weak wide-angle temperature correlations in the cosmic microwave backgroundArticle publiÃ© dans la revue Nature du 9 octobre 2003, vol. 425, p. 593-595.Pour une version Ã©lectronique : format PDF (420kB) [2] Simulating cosmic microwave background maps in multi-connected universes, A. Riazuelo, J.-P. Uzan, R. Lehoucq and J. Weeks (e-print astro-ph/0212223).Detecting topology of nearly flat spherical universes, R. Lehoucq, J.-P. Uzan and J. Weeks, Class. Quant. Grav. 20, 1529-1542, 2003, (e-print astro-ph/0209389)Eigenmodes of compact spherical spaces and their applications to cosmology, R. Lehoucq, J.-P. Uzan, J. Weeks, J.-P. Luminet and E. Gausmann, Class. Quantum Grav. 19, 4683-4708, 2002, (e-print gr-qc/0205009) [3] L’Univers chiffonnÃ©, J.- P. Luminet, Fayard, Paris, 2001, 369 p. ; L’univers... vu d’ailleurs, J.-P. Uzan, Pour la Science vol. 308, p. 56, juin 2003. [4] N. Cornish, D. Spergel et G. Starkman, Classical and Quantum Gravity 15, 2657-2670, 1998 (e-print astro-ph/9801212)

Voir aussi les communiquÃ©s de presse "Un petit univers sphÃ©rique ?" (dÃ©cembre 2001), "Comment vibre le tambour cosmique ?" (janvier 2003), et le premier livre de vulgarisation sur le sujet : J.- P. Luminet : Lâ€™Univers chiffonnÃ©, Fayard, Paris, 2001, 369 p.

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Jean-Pierre Luminet (Observatoire de Paris, LUTH) Notes [a] Le rayonnement cosmologique, aussi appelé "fond diffus cosmologique", est un rayonnement produit très tôt dans l’histoire de l’Univers (environ 400 000 ans après le début de l’expansion) lorsque matière et lumière se sont séparées. Les infimes irrégularités dans la température de ce rayonnement permettent de mesurer les fluctuations de densité de matière présentes à cette époque, fluctuations à partir desquelles se sont formés plus tard les galaxies et leurs amas.[b] Les fluctuations de température du fond diffus cosmologique peuvent être décomposées en une somme d’harmoniques sphériques, comme le son produit par un instrument peut être décomposé en harmoniques ordinaires. L’harmonique fondamentale fixe la hauteur du son (par exemple le la du diapason a une fréquence de 440 hertz) tandis que l’amplitude relative de chaque harmonique détermine le timbre (le la du piano est différent de celui joué sur un clavecin). Dans le cas du fond diffus, l’amplitude relative de chaque harmonique sphérique fixe le spectre de puissance, une signature de la géométrie de l’univers et des conditions qui prévalaient au moment de l’émission du rayonnement du fond diffus.[c] L’espace de Poincaré peut se représenter mentalement par un dodécaèdre (polyèdre régulier à 12 faces pentagonales) dont les faces opposées sont identifiées après une rotation de 36 degrés ; c’est un espace de courbure positive, variante multi-connexe de l’hypersphère, mais dont le volume est 120 fois plus petit. Un mobile sortant du dodécaèdre à travers l’une de ses faces y retourne en entrant par la face opposée. La lumière s’y propage de telle façon qu’un observateur dont la ligne de visée traverse une paroi a l’illusion de voir l’intérieur d’une copie du dodécaèdre d’origine (en réalité sa ligne de visée rentre dans le dodécaèdre par le côté opposé).[d] Le paramètre de masse-énergie de l’Univers caractérise le contenu en matière et énergie de l’Univers. La géométrie précise de l’Univers dépend de la valeur de ce paramètre, appelé aussi "Omega". Si Omega est supérieur à 1, la géométrie est dite "sphérique", s’il est inférieur à 1 la géométrie est "hyperbolique", enfin s’il est exactement égal à 1, la géométrie est "euclidienne".

RÃ©fÃ©rences [1] J.-P. Luminet, LUTH, CNRS-UMR 8102, Observatoire de Paris, France J. Weeks, Canton, USAA. Riazuelo, Service de Physique Théorique, CEA Saclay, FranceR. Lehoucq, Service d’Astrophysique, CEA Saclay, FranceJ.-P. Uzan, Laboratoire de Physique Théorique, Orsay et Institut d’Astrophysique de Paris, France Dodecahedral space topology as an explanation for weak wide-angle temperature correlations in the cosmic microwave backgroundArticle publié dans la revue Nature du 9 octobre 2003, vol. 425, p. 593-595.Pour une version électronique : format PDF (420kB) [2] Simulating cosmic microwave background maps in multi-connected universes, A. Riazuelo, J.-P. Uzan, R. Lehoucq and J. Weeks (e-print astro-ph/0212223).Detecting topology of nearly flat spherical universes, R. Lehoucq, J.-P. Uzan and J. Weeks, Class. Quant. Grav. 20, 1529-1542, 2003, (e-print astro-ph/0209389)Eigenmodes of compact spherical spaces and their applications to cosmology, R. Lehoucq, J.-P. Uzan, J. Weeks, J.-P. Luminet and E. Gausmann, Class. Quantum Grav. 19, 4683-4708, 2002, (e-print gr-qc/0205009) [3] L’Univers chiffonnÃ©, J.- P. Luminet, Fayard, Paris, 2001, 369 p. ; L’univers... vu d’ailleurs, J.-P. Uzan, Pour la Science vol. 308, p. 56, juin 2003. [4] N. Cornish, D. Spergel et G. Starkman, Classical and Quantum Gravity 15, 2657-2670, 1998 (e-print astro-ph/9801212)

Voir aussi les communiqués de presse "Un petit univers sphÃ©rique ?" (décembre 2001), "Comment vibre le tambour cosmique ?" (janvier 2003), et le premier livre de vulgarisation sur le sujet : J.- P. Luminet : Lâ€™Univers chiffonnÃ©, Fayard, Paris, 2001, 369 p.Contact :

Jean-Pierre Luminet (Observatoire de Paris, LUTH)

Dernière modification le 22 février 2013