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The Poincaré Dodecahedral Space model gains support to explain the shape of space

1er février 2008

An international team of cosmologists, led by a researcher from Paris Observatory, has improved the theoretical pertinence of the Poincaré Dodecahedral Space (PDS) topology to explain some observations of the Cosmic Microwave Background (CMB). In parallel, another international team has analyzed with new techniques the last data obtained by the WMAP satellite and found a topological signal characteristic of the PDS geometry.

The last fifteen years have shown considerable growth in attempt to determine the global shape of the universe, i.e. not only the curvature of space but also its topology. The « concordance » cosmological model which now prevails describes the universe as a « flat » (zero-curvature) infinite space in eternal, accelerated expansion. However, the data delivered between 2003 and 2006 by the NASA satellite WMAP, which produced a full-sky, high resolution map of the Cosmic Microwave Background Radiation (CMB), yield a very poor fit to the concordance model at large angular scales. They rather tend to favor a finite, positively curved space, and provide hints about a multiply-connected topology.

The CMB is the relics of the radiation emitted soon after the Big Bang. It is observed on the so-called last scattering surface (LSS), a sphere of radius about 50 billion light-years around us. The tiny temperature fluctuations observed on the LSS may be decomposed into a sum of spherical harmonics, much like the sound produced by a music instrument may be decomposed into ordinary harmonics. The relative amplitudes of each spherical harmonics determine the power spectrum, which is a signature of the geometry of space and of the physical conditions which prevailed at the time of CMB emission.

Now, cosmic topology predicts that a space which is smaller than the LSS cannot contain vibrational modes larger than the space itself. This should lead to a cutoff of power in statistics representing these fluctuations, above which power should drop to zero. The predicted cutoff in large scale power has precisely been observed by the 2003-2006 WMAP all-sky survey.

Motivated by indications that the Universe may have positive curvature, and calculating large-angle vibrational harmonics to simulate the power spectrum, some authors of the present study [ref. 2] had already argued in October 2003 that the multiply-connected Poincaré dodecahedral space (PDS) topology was favoured by the WMAP data relative to an infinite, simply connected flat space.

: Figure 1 : A gauche : L’espace dodécaédrique de Poincaré peut se décrire comme l’intérieur d’un dodécaèdre sphérique tel que, si l’on « sort » par une face pentagonale, on « rentre » immédiatement par la face opposée après une rotation de 36°.Un tel espace est donc fini, bien que sans frontière ni bord, de sorte que l’on peut y voyager indéfiniment sans obstacle. Au centre : Vue depuis l’intérieur de PDS perpendiculairement à une face pentagonale. L’observateur a l’illusion de vivre dans un espace 120 fois plus grand, construit comme une mosaïque de dodécaèdres empilés dont les images se répètent comme dans une galerie des glaces. A droiteÂ : Vue depuis l’intérieur de PDS dans une direction arbitraire, calculée par le programme CurvedSpaces et montrant des images multiples de la Terre obtenues par mirage topologique (d’après Jeff Weeks). Cliquer sur l’image pour l’agrandir

The PDS model has since been studied in more mathematical details by several teams all around the world. In the most recent study, Luminet and co-workers [ref. 1] calculated 1,7 billion vibrational modes of PDS to simulate more accurately the power spectrum, from large to small angular scales. They found that the maximal repression of the quadrupole signal, as found in the data, requires an optimal total density of Ωtot = 1.018 (see note 1). Their predicted PDS power spectrum then remarkably agrees with the observed one (figure 2).

: Figure 2 : Spectres de puissance comparés pour les données expérimentales de WMAP (barres d’erreur verticales), pour le modèle théorique de concordance tel que Ωtot = 1.000, Ωmat = 0.27 et h = 0.70 (courbe en pointillés) et pour le modèle PDS tel que Ωtot = 1.018 (courbe pleine). Cliquer sur l’image pour l’agrandir

Circle signature

If physical space is smaller than the observed space inside the LSS sphere, there must be particular correlations in the CMB, namely pairs of « matched » circles along which temperature fluctuations should be the same, as they would represent the same physical points but observed from different directions due to topological lensing. As a definite signature of the underlying topology, the PDS model predicts six pairs of antipodal matched circles with a relative phase of 36°. To test this prediction, the team [ref.1] has simulated CMB temperature fluctuations maps in the PDS topology and checked the presence of the expected circles-in-the-sky (figure 4).

: Figure 3 : Simulation de la surface de dernière diffusion et de ses plus proches copies dans la topologie PDS. Comme le volume de l’espace PDS ne représente que 80% du volume de la sphère LSS, celle-ci s’auto-intersecte selon six paires antipodales de cercles homologues, qui représentent les mêmes points de l’espace à une rotation de 36° près. Cliquer sur l’image pour l’agrandir

Now the crucial question is : are these pairs of matched circles present in the real WMAP data ? Three different teams (from USA, Germany and Poland) have addressed the problem in the recent years, using various statistical indicators and massive computer calculations. No clear answer presently emerges, because the expected positive correlation signal from matched pairs is spoiled by various cosmological effects, astrophysical foregrounds and instrumental effects that constitute noise.

Thus, another international team of cosmologists [ref. 3] lead by B. Roukema of Nicolaus Copernicus University in Torun, Poland (formerly at Paris-Meudon Observatory), has reanalyzed the WMAP data with new statistical tools. They have shown that cross-correlations of temperature fluctuations on multiple copies of the LSS imply a highly cross-correlated PDS symmetry with a phase of approximately 36° for the matched circles. By determining the position of such circles, they were even able to fix the space orientation of the fundamental dodecahedron relative to the CMB frame. The chance of this occurring in the simply-connected flat model is only 7%.

Conclusion

Do we really live in a Poincaré Dodecahedral Space ? Further constraints either for or against the model are certainly still needed, but the evidence in favour of a PDS-like signal in the WMAP data does seem to be cumulating. To clarify the issue, new data from the future European satellite Planck Surveyor (launch scheduled in july 2008) are eagerly expected.

Note 1 The mass-energy density parameter Ωtot characterizes the contents (matter and all forms of energy) of the universe. The curvature of space depends on the value of this parameter. If Ωtot is greater than 1, then space curvature is positive and geometry is spherical ; if Ωtot is smaller than 1 the curvature is negative and the geometry is hyperbolic ; eventually Ωtot is strictly equal to 1 and space is Euclidian.

References [1] A new analysis of the PoincarÃ© dodecahedral space model, S. Caillerie, M. Lachièze-Rey, J.-P. Luminet, R. Lehoucq, A. Riazuelo & J. Weeks, Astron. Astrophys. 2007, 476, 691.696. [2] Dodecahedral space topology as an explanation for weak wide-angle temperature correlations in the cosmic microwave background, J.-P. Luminet, J. Weeks, A. Riazuelo, R. Lehoucq & J.-P. Uzan, Nature, 2003, 425, 593-595. [3] The optimal phase of the generalised PoincarÃ© Dodecahedral Space hypothesis implied by the spatial cross-correlation function of the WMAP sky maps, B. Roukema, Z. Bulinski, A. Szaniewska & N. Gaudin, 2008 [arXiv:0801.0006v1] See also previous press releases Â« A finite dodecahedral universe Â » (october 2003), "Vibrations of the cosmic drumhead" (january 2003), "A small spherical universe after all ?" (december 2001), and : J.- P. Luminet : The wraparound universe, AK Peters, New York, 2008 (English translation of L’Univers chiffonné, 2nd edition, Gallimard, Paris, 2005).

Contact

Jean-Pierre Luminet (Observatoire de Paris, LUTH, et CNRS)

Dernière modification le 4 mars 2013

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L’Espace Dodécaédrique de Poincaré conforté pour expliquer la forme de l’univers

1er février 2008

Une équipe internationale de cosmologistes, conduite par un chercheur de l’Observatoire de Paris, vient de conforter le modèle théorique de l’espace dodécaédrique de Poincaré (PDS) pour expliquer certaines observations du rayonnement de fond cosmologique (CMB). En parallèle, une autre équipe internationale a analysé à l’aide de nouvelles techniques les dernières données obtenues par le satellite WMAP et trouvé un signal topologique caractéristique de la géométrie PDS.

Les quinze dernières années ont vu un accroissement considérable des efforts pour déterminer la forme globale de l’univers, c’est-à-dire non seulement la courbure de l’espace mais aussi sa topologie. Le modèle cosmologique dit de « concordance » qui prévaut actuellement décrit l’univers par un espace « plat » (c’est-à-dire de courbure nulle), infini, en expansion perpétuelle accélérée. Cependant, les données délivrées entre 2003 et 2006 par le satellite WMAP de la NASA, qui ont fourni une carte à haute résolution du rayonnement de fond cosmologique (CMB), s’accordent très mal avec le modèle de concordance aux grandes échelles angulaires. Elles favorisent plutôt un espace fini, de courbure positive, et suggèrent une topologie multi-connexe.

Le CMB est le vestige de la première lumière émise peu après le Big Bang. Il est observé sur la « surface de dernière diffusion » (LSS), une sphère d’environ 50 milliards d’années-lumière de rayon qui nous entoure. Les minuscules fluctuations de température observées sur la LSS peuvent être décomposées en une somme d’harmoniques sphériques, tout comme le son produit par un instrument de musique peut être décomposé en harmoniques ordinaires. Les amplitudes relatives de chaque harmonique sphérique détermine le spectre de puissance, qui est une signature de la géométrie de l’espace et des conditions physiques qui régnaient à l’époque d’émission du CMB.

Or, la topologie cosmique prédit que tout espace physique qui serait plus petit que la LSS ne pourrait vibrer sur des longueurs d’onde plus grandes que sa propre taille. Il devrait en résulter une coupure de son spectre de puissance au-dessus d’une certaine longueur d’onde. Cette coupure aux grandes échelles a précisément été observée par la campagne d’observations 2003-2006 du télescope WMAP.

Se fondant sur la possibilité que l’espace ait une courbure positive, et en calculant certains modes vibrationnels de l’espace pour simuler le spectre de puissance, certains auteurs de la présente étude [réf. 2] avaient déjà proposé en octobre 2003 que la topologie multi-connexe de l’espace dodécaédrique de Poincaré (PDS, figure 1) était favorisée par les données de WMAP, au détriment de l’espace simplement connexe, plat et infini stipulé par le modèle de concordance.

: Figure 1 : A gauche : L’espace dodécaédrique de Poincaré peut se décrire comme l’intérieur d’un dodécaèdre sphérique tel que, si l’on « sort » par une face pentagonale, on « rentre » immédiatement par la face opposée après une rotation de 36°.Un tel espace est donc fini, bien que sans frontière ni bord, de sorte que l’on peut y voyager indéfiniment sans obstacle. Au centre : Vue depuis l’intérieur de PDS perpendiculairement à une face pentagonale. L’observateur a l’illusion de vivre dans un espace 120 fois plus grand, construit comme une mosaïque de dodécaèdres empilés dont les images se répètent comme dans une galerie des glaces. A droiteÂ : Vue depuis l’intérieur de PDS dans une direction arbitraire, calculée par le programme CurvedSpaces et montrant des images multiples de la Terre obtenues par mirage topologique (d’après Jeff Weeks). Cliquer sur l’image pour l’agrandir

Le modèle PDS a depuis lors été étudié mathématiquement en grand détail par plusieurs groupes à travers le monde. Dans l’étude la plus récente, Luminet et ses collaborateurs [réf. 1] ont calculé 1,7 milliards de modes vibrationnels de PDS pour simuler avec plus de précision qu’en 2003 le spectre de puissance, sur une large gamme d’échelles angulaires. Ils ont trouvé que la diminution maximale de l’harmonique quadripolaire, telle qu’elle apparaît dans les données, requiert une densité de matière-énergie optimale de Ωtot = 1.018 (voir note 1). Le spectre de puissance ainsi prédit par le modèle PDS s’accorde remarquablement avec la totalité du spectre WMAP observé (figure 2).

: Figure 2 : Spectres de puissance comparés pour les données expérimentales de WMAP (barres d’erreur verticales), pour le modèle théorique de concordance tel que Ωtot = 1.000, Ωmat = 0.27 et h = 0.70 (courbe en pointillés) et pour le modèle PDS tel que Ωtot = 1.018 (courbe pleine). Cliquer sur l’image pour l’agrandir

Une signature par les cercles

Si l’espace physique est plus petit que l’espace observé contenu dans la sphère LSS, il doit y avoir des corrélations particulières dans le CMB, à savoir des paires de cercles « homologues » le long desquels les fluctuations de température sont les mêmes, car ils correspondent aux mêmes points physiques observés dans des directions différentes, suite à un effet de mirage topologique. La signature précise et définitive de la topologie PDS serait l’existence de six paires de cercles diamétralement opposés, corrélés avec une phase relative de 36°. Pour tester cette prédiction, l’équipe de chercheurs [réf.1] a simulé des cartes de du CMB dans la topologie PDS et vérifié la présence des cercles corrélés (figure 3).

: Figure 3 : Simulation de la surface de dernière diffusion et de ses plus proches copies dans la topologie PDS. Comme le volume de l’espace PDS ne représente que 80% du volume de la sphère LSS, celle-ci s’auto-intersecte selon six paires antipodales de cercles homologues, qui représentent les mêmes points de l’espace à une rotation de 36° près. Cliquer sur l’image pour l’agrandir

Reste la question cruciale : ces paires de cercles corrélés sont-elles présentes dans les données réelles de WMAP ? Trois équipes différentes (américaine, allemande et polonaise) se sont penchées sur le problème au cours des cinq dernières années, en utilisant divers indicateurs statistiques et des simulations numériques massives. Aucune réponse claire n’émerge pour l’instant de ces travaux, car le signal topologique attendu est dégradé par divers effets cosmologiques, ainsi que par les contaminations de fond astrophysiques et les imperfections instrumentales, qui tous induisent du bruit.

C’est pourquoi une autre équipe internationale de cosmologistes [réf. 3] conduite par B. Roukema de l’Université Nicolas Copernic à Torun en Pologne (précédemment chercheur à l’Observatoire de Paris), a réanalysé les données WMAP à l’aide de nouvelles méthodes statistiques. Ils ont montré que les corrélations croisées entre les fluctuations de température évaluées sur les éventuelles copies multiples de la LSS entraînent une forte corrélation en faveur d’une symétrie dodécaédrique dans la carte WMAP, ainsi qu’une phase relative d’environ 36° pour les paires de cercles homologues. En déterminant la position de ces cercles, ils ont même pu fixer l’orientation spatiale du dodécaèdre fondamental par rapport à la carte WMAP. La probabilité pour que le modèle de concordance plat et infini reproduise par hasard une telle configuration n’est que 7%.

Conclusion

Vivons-nous réellement dans un espace dodécaédrique de Poincaré ? Des contraintes expérimentales futures pour ou contre le modèle seront certainement nécessaires, mais les indices en faveur d’un signal topologique PDS dans les données WMAP s’accumulent. Pour faire avancer le débat, les futures données du satellite européen Planck Surveyor (lancement prévu en juillet 2008) sont attendues avec impatience.

Note 1 Le paramètre de densité Ωtot caractérise le contenu de l’univers, toutes formes de matière et d’énergie confondues. La courbure de l’espace dépend de la valeur de ce paramètre. Si Ωtot est plus grand que 1, la courbure de l’espace est positive et la géométrie est de type sphérique ; si Ωtot est plus petit que 1, la courbure est négative et la géométrie est hyperbolique ; ce n’est que si Ωtot est strictement égal à 1 que l’espace est Euclidien.

RÃ©fÃ©rences [1] A new analysis of the PoincarÃ© dodecahedral space model, S. Caillerie, M. Lachièze-Rey, J.-P. Luminet, R. Lehoucq, A. Riazuelo & J. Weeks, Astron. Astrophys. 2007, 476, 691.696. [2] Dodecahedral space topology as an explanation for weak wide-angle temperature correlations in the cosmic microwave background, J.-P. Luminet, J. Weeks, A. Riazuelo, R. Lehoucq & J.-P. Uzan, Nature, 2003, 425, 593-595. [3] The optimal phase of the generalised PoincarÃ© Dodecahedral Space hypothesis implied by the spatial cross-correlation function of the WMAP sky maps, B. Roukema, Z. Bulinski, A. Szaniewska & N. Gaudin, 2008 [arXiv:0801.0006v1] Voir aussi les communiqués de presse précédents : Â« Â Un univers fini dodÃ©caÃ©driqueÂ Â » (octobre 2003), Â« Â Comment vibre le tambour cosmique ? Â » (janvier 2003), Â« Â Un petit Univers sphÃ©rique ? Â » (dÃ©cembre 2001), et : J.- P. Luminet : L’Univers chiffonné, 2nd édition, Gallimard, Paris, 2005, traduction anglaise The wraparound universe, AK Peters, New York, 2008.

Contact

Jean-Pierre Luminet (Observatoire de Paris, LUTH, et CNRS)

Dernière modification le 22 février 2013