Dark matter halos are the building blocks of the cosmic structure formation. They are gravitationally bound concentrations of dark matter particles in which cooling baryonic gas falls in to form the stars and galaxies that we observe today. The largest halos in the universe host massive cluster of galaxies (M 1015 Msun), while the smallest ones may host dwarf galaxies (M 108 Msun) forming a population of satellites swirling around galaxies such as the Milky Way. Their mass range spans several orders of magnitudes. How likely are these objects to exist ? How are they spatially distributed ? Do their properties change over time ? Over the past decade cosmologists have tackled this challenge by running large N-body simulations on the most powerful supercomputers to solve the complexity of the non-linear gravitational interactions involved in the formation of dark matter halos (Figure 1). Nevertheless a complete theoretical understanding of the properties of the halo mass distribution has been missing.

Figure 1 : Halo de matière noire de masse M 1015 Msol détecté dans une simulation à N-corps issue du projet DEUS. Photo courtoisie de Yann Rasera. Cliquer sur l’image pour l’agrandir

A mathematical description of individual halos emerging from the spatial distribution of tiny density fluctuations is too hard a problem to solve. In the end, one is only interested in determining the average properties of the halo mass distribution, since these can be directly confronted with measurements of the observed abundance of massive clusters. And this is a much more accomplishable task. Pier Stefano Corasaniti, theoretical cosmologist at LUTH, and Ixandra Achitouv, PhD student at the University of Paris VII, have performed the first ab initio calculation reproducing with unprecedented accuracy the halo mass distribution measured in N-body simulations. To achieve this result, they have worked out a stochastic model of the halo formation process. The idea is to extrapolate the properties of the halo mass distribution from the statistics of initial density field which is accurately measured from observations of Cosmic Microwave Background anisotropies. This inference is realized by filtering the primordial density field over different length scales, with the filter function defining volumes of space to which correspond different halo masses. The formation of halos is then assimilated to random walks of the density fluctuation as function of the filtering radius playing the role of pseudo-time variable. A halo is formed when a random walk hits a characteristic density threshold of collapse (Figure 2). The determination of the halo mass distribution is then reduced to simply counting the fraction of random walks that cross such a threshold as function of the filter scale (or the associated mass).

Figure 2 : Marche aléatoire de la perturbation de densité en fonction de la variance du champ de densité à différentes échelles de filtrage Cliquer sur l’image pour l’agrandir

Figure 2 : Markovian random walk of the density perturbation as function of the variance of the underlying random density field filtered at different scales. Click on the image to enlarge it Richard Bond, Shaun Cole, George Efstathiou and Nick Kaiser introduced the stochastic model of halo formation, also known as excursion set theory, in the early 90. In the original formulation, the derivation of an analytical formula for the halo mass distribution is limited to few ideal cases for which there is no physically meaningful definition of the halo mass. In a realistic case, the mass definition has to be consistent with that inferred from observations, however the stochastic equations of the model cannot be solved analytically, but only through time consuming numerical Monte Carlo simulations. This is because the way the mass is defined alter the filtering process of the density field such that the pseudo-time evolution of the random walks is no longer independent of their past history. Their evolution as function of the filtering scale becomes correlated. It is like having a stock whose price smoothly changes over time (instead of discontinuous jumps) because all investors buy and sell according to a pre-arranged set of past prices. To overcome this limitation the researchers have used a path-integral formulation of the halo random trajectories. The path-integral is a mathematical technique that allows the computation of transitional probabilities by summing up over all possible paths of a random process. Developed in the context of quantum mechanics by Richard Feynman, such methodology has analogs in statistical mechanics and is applicable to stochastic systems. Recently, Michele Maggiore at the University of Geneva and Antonio Riotto at CERN have been able to formulate the excursion set theory in terms of path-integrals. They have shown that in such formulation one can solve analytically the halo mass function for mass definitions that are consistent with observational estimates of halo masses.

It is within this mathematical framework that LUTH’s theorists have performed their calculation. However, to improve the theoretical modeling of the halo mass distribution they had to consider a further element. In the excursion set theory the density threshold reached by the random walks that form dark matter halos is inferred from a simplified model of the non-linear gravitational collapse of matter. Initial density fluctuations on very large scales tend to collapse approximately as isolated systems. Thus the gravitational infall is similar to that of a homogeneous sphere of matter. This is not the case at smaller scales, where distortions due to the shear of the velocity field associated to matter density fluctuations and other environmental effects make the collapse more anisotropic, approximately like that of a homogeneous ellipsoid. Because of this the collapse conditions change over different scales and randomly. On average the collapse follows at large scales that of a spherical object, while at small scales that of an ellipsoidal one. The astronomers have therefore implemented the excursion set theory in its path-integral formulation with a stochastic model of the halo collapse condition that mimic these peculiar features. The result of this computation is a mathematical formula of the halo mass distribution which manifestly depends on physical parameters that encodes the main features of the halo collapse. These parameters provide a physical explanation for the shape of this function over the all range of masses probed by numerical simulations. Even more important is the fact that the derived formula matches the halo mass distribution measured in N-body simulations with unprecedented accuracy (Figure 3).

Figure 3 : Fonction de masse des halos issue des simulations à N-corps de Tinker et al. (2008) (carrés noirs) et fit numérique (ligne bleue continue) en fonction de l’inverse de la déviation standard des fluctuations de densité du champ (ligne bleue continue) confronté à la prédiction théorique de Corasaniti & Achitouv (ligne rouge brisée) et la solution numérique exacte des équations stochastiques du modèle (carrés rouges). Le panneau dessous montre la différence relative entre les résultats des simulations à N-corps et le calcul basé sur les intégrales de chemin. L’accord est meilleur que 5% (précision numérique) sur tout l’intervalle de masse sondé par les simulations. Cliquer sur l’image pour l’agrandir

According to the two researchers this study is only the beginning of a new approach to a complete theoretical description of the mass function of dark matter halos. Their work suggests several new directions of investigation. On the one hand, it will be interesting to extend the mathematical description to scenarios in which the initial density field obeys a non-Gaussian statistics, such as in high-energy physics and string theory inspired models of Inflation, the quantum mechanical process which is believed to have generated the primordial spectrum of density fluctuations. This will allow probing the physics of the very early Universe directly from upcoming measurements of the cosmic abundance of galaxy clusters. Another aspect that is worth further investigation is the stochastic modeling of the halo collapse condition. This can be improved to account for the precise cosmological dependence of the stochastic model parameters. A work that LUTH’s cosmologists intend to carry out in the near future.

[1] P.S. Corasaniti and I. Achitouv, Phys. Rev. Lett. 106 (2011) 241302 [2] P.S. Corasaniti and I. Achitouv, Phys. Rev. D in press. Contact Pier-Stefano Corasaniti (Observatoire de Paris-LUTH, CNRS)

Dernière modification le 4 mars 2013

Les halos de matière noire sont les pierres fondamentales de la formation de structures dans l’univers. Ils sont constitués de particules de matière noire liées par la gravité, et à l’intérieur des halos la matière baryonique sous forme de gaz se refroidit et s’effondre pour former les étoiles et les galaxies que nous observons aujourd’hui. Les plus grands de ces halos dans l’univers accueillent des amas de galaxies (M=1015 Msol), alors que les plus petits peuvent héberger des galaxies naines (M=108 Msol) et constituent une population de petites structures satellites qui orbitent autour des galaxies comme la Voie Lactée. La gamme de masse de ces halos couvre plusieurs ordres de grandeur. Quelle est l’abondance de ces objets ? Comment sont ils distribués dans l’univers ? Est-ce que leurs caractéristiques évoluent au fil des milliards d’années ? Grâce aux progrès numériques des dix dernières années, les scientifiques ont tenté de répondre à ces questions à l’aide des simulations numériques à N-corps sur les ordinateurs les plus performants au monde. Ils ont étudié la complexité du processus de formation des halos, causé par l’interaction gravitationnelle en régime fortement non linéaire (figure 1). Cependant une étude théorique fiable reproduisant les propriétés de la distribution de la masse de ces halos n’avaient pas été proposée.

Figure 1 : Halo de matière noire de masse M 1015 Msol détecté dans une simulation à N-corps issue du projet DEUS. Photo courtoisie de Yann Rasera. Cliquer sur l’image pour l’agrandir

Pier Stefano Corasaniti cosmologue au LUTh et Ixandra Achitouv doctorante à l’université de Paris Diderot ont réussi à calculer la fonction de masse de ces halos de matière noire avec un accord sans précédent avec celle mesurée dans les simulations numériques N-corps. Leurs travaux s’appuient sur une formulation stochastique de la formation des halos. L’idée étant de lier la distribution en masse de ces halos aux propriétés statistiques du champ de matière primordial observé par l’intermédiaire des anisotropies du fond diffus cosmologique. Le lien est réalisé grâce à un processus de filtrage du champ de densité primordial sur différentes échelles de longueur. Le filtrage permet ainsi de définir divers volumes auxquels on associe la masse des différents halos. Le processus de formation d’un halo est alors représenté par une marche aléatoire du champ de densité en fonction de l’échelle caractéristique de filtrage. Un halo se forme lorsqu’il dépasse un seuil critique d’effondrement (figure 2). Le calcul de la distribution de masse dans les halos se réduit alors au comptage des marches aléatoires qui dépassent ce seuil en fonction de l’échelle du filtre (ou de la masse associée). En effet, une prédiction théorique de la formation de chaque halo à partir de la distribution spatiale du champ de densité initial de la matière noire dans tout l’univers reste inenvisageable. En revanche, prédire les propriétés statistiques de la distribution de masse des halos est un défi plus abordable. Surtout si on considère que ces propriétés moyennées peuvent être confrontées directement aux observations comme celles de l’abondance d’amas de galaxies massives.

Figure 2 : Marche aléatoire de la perturbation de densité en fonction de la variance du champ de densité à différentes échelles de filtrage Cliquer sur l’image pour l’agrandir

Figure 2 : Marche aléatoire de la perturbation de densité en fonction de la variance du champ de densité àdifférentes échelles de filtrage Cliquer sur l’image pour l’agrandir Richard Bond, Shaun Cole, George Efstathiou et Nick Kaiser sont les pères du modèle stochastique appliqué à la formation de halos. Ce modèle développé au début des années 90 est connu sous le nom d’ « excursion set theory ». Néanmoins la résolution analytique n’a pu être faite que sous certaines hypothèses qui ne sont pas physiques, entre autres la définition de la masse. Utiliser une bonne définition de la masse qui soit en concordance avec l’observation se traduit mathématiquement par des corrélations dans l’étude des trajectoires. Le comportement d’une trajectoire dépend alors de son histoire passée ce qui complique énormément la prédiction. C’est comme si les prix du marché financier progressaient lentement suivant une loi déterministe au lieu de faire des sauts aléatoires car les investisseurs se seraient concertés au préalable. Pour formaliser ce problème et le résoudre, les théoriciens ont introduit l’outil d’intégrale de chemin. L’intégrale de chemin a été développée dans un tout autre contexte qui est la théorie quantique des champs. Cet outil permet de construire la probabilité de transition d’un point à un autre en passant par tous les chemins intermédiaires possibles du processus aléatoire. Récemment, Michele Maggiore, professeur à l’Université de Genève et Antonio Riotto chercheur au CERN, ont réussi à formuler l’ « excursion set theory » à l’aide d’intégrales de chemin et ont ainsi résolu de manière formelle le problème de corrélation entres les trajectoires. C’est avec ce formalisme que les théoriciens du LUTh ont effectué leur calcul. Cependant, ils ont eu l’idée d’améliorer la description du seuil de formation des halos. Dans les modèles précédant ce seuil était déterminé dans un cas très idéal où le collapse était sphérique et découplé du resde l’univers. Cela est une bonne approximation seulement pour les halos des très grand masse qui se forment sur les très grandes échelles de façon presque isolée. En effet, l’environnement joue un rôle important dans l’évolution de la surdensité tout particulièrement aux petites échelles. Ceci tend à changer la condition de collapse suivant l’échelle. Pour rendre compte de ces effets il faut considérer le modèle de collapse ellipsoïdal. Les chercheurs ont réussi à implémenter cet effet grâce à une modélisation stochastique de la barrière qui dépend de l’échelle. Le résultat de leur travail est une fonction de masse qui dépend de paramètres physiques liés au collapse gravitationnel permettant ainsi de comprendre les caractéristiques liées à sa forme, sur toute la gamme de masse sondée par les simulations numériques. Par ailleurs, leur fonction de masse reproduit avec un très haut degré de précision ce qui a été mesuré dans les simulations numériques (figure3).

Figure 3 : Fonction de masse des halos issue des simulations à N-corps de Tinker et al. (2008) (carrés noirs) et fit numérique (ligne bleue continue) en fonction de l’inverse de la déviation standard des fluctuations de densité du champ (ligne bleue continue) confronté à la prédiction théorique de Corasaniti & Achitouv (ligne rouge brisée) et la solution numérique exacte des équations stochastiques du modèle (carrés rouges). Le panneau dessous montre la différence relative entre les résultats des simulations à N-corps et le calcul basé sur les intégrales de chemin. L’accord est meilleur que 5% (précision numérique) sur tout l’intervalle de masse sondé par les simulations. Cliquer sur l’image pour l’agrandir

Selon les deux chercheurs cette étude est le commencement d’une toute nouvelle approche permettant de décrire la fonction de masse des halos de matière noire. Leurs travaux ont ouvert de nouvelles voies de recherche. Entre autres la généralisation au cas où la statistique du champ de densité initiale change selon différents modèles de physique des hautes énergies. En effet, certains modèles de théories des cordes prédisent différentes corrélations entre les perturbations du champ de matière après le Big Bang. D’autre part, leur modèle stochastique du seuil de formation des halos peut être amélioré et permettre ainsi une étude sur l’influence des différents types d’univers sur les paramètres de collapse qui décrivent la formation des halos. Les travaux effectués au LUTh ont prouvé d’une part qu’une compréhension théorique des propriétés des halos engendrés à partir de phénomènes gravitationnels complexes est possible et d’autre part que ces propriétés sont prédictives grâce à leur modélisation. [1] P.S. Corasaniti and I. Achitouv, Phys. Rev. Lett. 106 (2011) 241302 [2] P.S. Corasaniti and I. Achitouv, Phys. Rev. D in press. Contact Pier-Stefano Corasaniti (Observatoire de Paris-LUTH, CNRS)

Dernière modification le 22 février 2013